微積ⅠM4 Q&A

数列をしっかりやるのであれば、そのルールを見つけるのは重要かもしれませんが、この授業では微分積分を学ぶ上での準備として数列を扱っているまでです。ですから、現段階では、必要な概念とそのテクニックを修得すれば十分です。
微積分には「極限」の概念が必要です。それも「関数の極限」ですが、「極限」の概念を学ぶのには「数列」が一番分かりやすいので、数列から始めています。しかし、必要なのは「極限」の概念とそれを求めるテクニックになりますので、数列のルールの見出すことは、今は深く考えなくて結構です。

ネットで調べると、ネイピアの数とは、1618年に発表された単数の研究論文の発表者ジョン・ネイピアにちなんで名づけられた数との事です。この数が指数関数の微分において大きな役割を果たす事を見出したのが、レオンハルト・オイラーで、「e」という記号を使うようになったようです。
自然界ではあらゆるものや現象は絶えず変化しています。この自然界の動きの多くは変化の度合いを表す、微分方程式と呼ばれる式で表されることが多いのですが、その形が特殊です。変化の度合いが自分自身になっていたりします。このような微分方程式の解は指数関数で表されるのですが、その解を求める際に、ネイピアの数は欠かせないのです。実際、ネイピアの数を使って、すべての指数関数や対数関数を表すことができます。これだけ、ネイピアの数が自然界の現象を表すのに重要だという事です。
では、ネイピアの数という値に「あの数列」が本当に収束するのか？ という疑問が残ります。厳密には、ちょっと難しい数学を使いますが、だんだんとネイピアの数に近づくのはExcelでも確認することができます。今度の授業でやってみましょう。

三角関数の方程式の解は一般的に無限個あります。これは、三角関数が周期的なためです。無限個(整数nで表現されている)の解の中から、与えれた範囲内の解を求めることが良くあります。その時に使うのが数直線です。
数直線上に与えられた範囲を明示しておき、無限個の解の中で整数nの値を0や±1などにしてみたときの解を数直線上にプロットしていきます。こうすれば、与えられた範囲内の解が直感的に分かります。
一般的には、与えられた範囲内に一般解が入る時の整数nの範囲を不等式を解いて求めますが、数直線を使う方が直感的で分かりやすいと思い、授業で用いました。しかし、不等式を解く方法に慣れているのであれば、そちらを使っても構いません。どちらを使おうと、同じ答えになります。

遅くなりまして、申し訳ありません。

選択式の問題(80点満点)では、平均点は48.74点。中央値(受験者43人の点数を小さい順に並べたときの、中央の22番目の点数)は52点。です。
最低は24点。最高は68点です。

えっ。
「グラフの表の矢印」って、xが＋∞や－∞の列のyの行に書いたものでしょうか。
そうだと仮定して解説します。
まず、第一に＋∞とか－∞は、１や2のような値ではなく、「数の状態」を表しています。＋∞は＋の方で大きい数の状態、－∞は－の方で絶対値が大きい数の状態を表しています。ですから、「yの値が〇〇になる」ということは言えす、「yの値が〇〇に近づく(発散する)」という言い方しかできません。
そこで、「近づく」という状況を、「矢印」で表しています。ただ、この近づき方にも違いがあります。y=0に近づく場合での、マイナス側から近づくのと、プラス側から近づくのと、プラスとマイナスも値をとりながら近づくのと3パターンあります。これは、具体的に近づく状況を書いてみればわかります。プラスとマイナスの値をとりながら近づくとすれば、中間値の定理より、どこかでy=0になる点がなければなりません。しかし、そのような値は有理関数でいえば分子の多項式の零点だけですので、すでに調査済みです。したがって、y=0への近づき方はマイナス側かプラス側の2パターンに限定されます。その状況を0に向かう矢印の傾きで表しています。下向きは大きい方から0に近づく、ということでプラス側から近づくことを意味し、上向きは小さい方から0に近づく、ということでマイナス側から近づくことを意味します。

理解度確認テストにおいては、選択式の問題は20問を予定しており、各4点です。記述式の問題は2問(各10点)で20点です。記述式の問題の解答については、部分点をつける予定です。
また、このテスト時に提出してもらう課題のノートは100点満点で採点して、両方の平均を最終的な理解度確認テストの成績とします。

模擬問題の殆どは、これまでの練習問題の問題やそれを参考にしていますので、似た問題を練習問題から見つけて、練習問題の解答例を確認ください。

よく質問してくれました。
これは、式だけで理解するクセが付いている人たちに多い質問と思います。
近年の高校の教育状況を考えれば、このような学生は非常に多いと思います。

三角関数を扱うときに私が良く使う図(縦横に直行する2本の軸とその交点を中心とする半径1の円)では、横軸がcosに、縦軸がsinに対応します。そこで、円周上の点Pを座標(1,0)から第1象限の方向に移動させるのが正(プラス)の角度で、第4象限の方に移動させるのが負(マイナス)の角度になります。角度を点Pが(1,0)から動いた長さで測るラジアンで表すと、角度π(パイ)の時には点Pの座標は(-1,0)にあります。角度2πの時に(1,0)に戻ります。

この発想でいけば、π(パイ)の整数倍の角度では、点Pは横軸上にあって、(1,0)と(-1,0)を交互に取ります。πの奇数倍の角度で点Pは常に(-1,0)にあり、πの偶数倍の角度で点Pは常に(1,0)にあります。ちなみに、角度が(π/2)の整数倍の時に点Pは縦または横の軸上にあり、奇数倍の時には縦軸上に、偶数倍の時には横軸上にあります。

この様に、「奇数倍、整数倍、偶数倍」は、点Pの位置に関わる特性を表す際の式や文としての表現にすぎません。常に、図的な解釈を忘れないように心がけてください。

もっと理解しよう、との意欲は非常にいいです。
でもちょっと、漠然とした質問なので、オンラインでは回答しにくいですね。より具体的な内容があると回答しやすいです。
例えば、「講義ノートのex.1.4.XX(Y)の○○の部分が理解できない」のような形が欲しいですね。

確かに、大学1年の段階では習う機会がありませんね。

　方程式の解は、通常は一つ、または一組という風に習ったと思いますが、与えられる条件によっては、その解は複数個になったり、無限個になったり、存在しなかったりします。

「一般解」とは、条件を一番緩くしたときの階の事をいう事が多いです。三角関数においては、「解の範囲を限定しない」場合に相当します。授業で説明したように、三角関数は周期関数ですので、解の範囲が限定されない限り、解が存在すれば、それは無限個になります。

一方、「解の範囲を限定する」などの「解が満たすべき条件」を付けたときの解は「特殊解」と呼ばれます。授業中に、①の段階(一つの周期内)の解はこの特殊解に相当しますし、③の段階(問題に指定された範囲内)の解もそうです。

高校までは、一般解と特殊解を区別せずに習ってきたと思いますが、今後はこれらを区別すると、方程式や今後習う微分方程式などが分かりやすくなると思います。

今、思いつきましたが、高校でも一般解と特殊解を扱っています。それは不定積分です。不定積分の解には積分定数という名の定数が付いていますが、それが一般解です。この積分定数が、授業でやった「2nπ」に対応します(積分定数Cは、「定数であれば何でも」を意味しますが、「2nπ」はπの偶数倍に限定しているだけです)。この不定積分の解(例えば、y=f(x)+C：Cは積分定数)に対して、「x=aの時に、y=bを満たす」という条件が加われば、積分定数Cの値が特定されます、この積分定数Cの値が特定された解が特殊解になります。