微積ⅠM4 Q&A

全然、構いません。

世の中的には、省略している人が多く、底を省略した場合には「自然対数」とみなすという習慣もあるようですので、省略しても良いと思います(省略しなければいけない、という事ではありません)。
ただ私の場合、授業ではいくつもの底を使いますので、省略すると「書き忘れ」と勘違いする学生も出てくるかもしれませんので、敢えて書くようにしています。

分母は展開しない方が良いと思います。
微分では、項が多くなりがちで、簡単に整理できない場合も多いです。整理が見通せるときは展開して整理するのもいいですが、そうでない時には、展開せずにそのままにしておいた方が良いように思います(個人的な意見です)。
ただ、教科書などに載っている解答と比較するときには、展開や整理が必要な場合もありますので、注意ください。

厳密に言えば、大丈夫ではないです。
ですが、ここでは、解き方を重視しているので、その置き換えた変数の範囲については曖昧にしてきました。
特に、関数の合成と考えた微分などにおいては、置き換えが何回も出てきます。それぞれの変数の範囲を示すのも結構大変で、解き方の流れが途切れることもありますので、まずは解き方に慣れてもらって、その上で置き換え変数の範囲に注目してもらおうと思っています。

講義ノートは、テキストに十分な説明が無い時に用意したものですので、テキストに沿って授業を進めていますので、今後の含めて、講義ノートは公開しないつもりです。
実は、講義ノートを出すと、確かに理解を助けることになると思いますが、テキストを見なくなる恐れが出てきます。授業で指定したテキストは非常に良いもので、重要なポイントを押さえていると思われます。ただし、すべての箇所が皆さんに合わせて書かれているわけではありませんので、説明不足の箇所もありますので、そういうところは授業で補います。そういう部分があまりにも多い時(「数列の極限」が実際にそうでした)には、改めて講義ノートを公開します。
今後は、テキストを中心に予習をし、テキストとこちらが配布する練習問題と授業中の板書内容を基に復習してください。
以前も話しましたが、授業中にきれいなノートを作る必要はなく、授業中は板書内容はメモ程度に考て、説明をしっかり聞いていてください。しっかりとしたノートは、授業動画が公開されたときに改めて作成すればいいと思います。

いいえ、それは覚え方を間違えた、勘違いだと思います。
「ルートの2乗が絶対値」ではなく、「2乗のルートが絶対値」です。

まず、√の記号を使う時点で、ルートの内側は0以上になっていることに注意してください。ルートの内側がマイナスになると、実数ではなくなります。
その上で、以下の式を見てください。
　　① （√(x)）^2＝x、　②√(x^2)＝|x|

①では、その書き方からして、x≧0という条件が隠れています。②では。xがマイナスであっても、2乗すればプラスになりますので、√(x^2)の意味はあります。しかし、√の前の符号がマイナスではありませんので、その値は0以上になります。ここで、x<0の時、例えば、x=-2を考えると、x^2は4です。√(4)は2になります。これは、|-2|になります。すなわち、|x|になります。

中間値の定理は、当たり前すぎて、その意味する所や利用価値が見えにくいかもしれません。
　その内容については、例えば、自宅から大学に来るまでの経路において、自宅を出発してから大学に到着するまでの経過時間と経路での自宅からの移動距離との関係を関数にしたとします。xが経過時間でyが移動距離を表すとします。この関数は、式には表せないでしょうが、グラフに表すと、つながったグラフになり、連続関数です。この時、大学までの距離の半分の地点を通過した瞬間の時刻があるはずです。このように、大学までの距離の範囲内であれば、どの地点(y軸の値)でもそこを通過した時刻(x軸の値)が大学への到着時間内にあるはずです。これが中間値の定理が言っていることです。
　この中間値の定理は、当たり前すぎて、どこに使っているかが分かりにくい所があります。この授業で使ったところでは、グラフの概形を書く際に、0や＋や－で書いていました。実は、＋や－を書く際に、中間値の定理を使っています。あの表では、0となる点(xの値)は分かっていますので、先に書いています。という事は、そこに書いた点以外では0になる点はないという事です。このことから、表内の0と0の間や両端(±∞方向)では、符号が変わらない事になります。もし変わるならば、中間値の定理より、その途中でyや多項式の値が0になる点が無ければなりません。0になる点はすべてか出しているので、そういう点はないのです。ですから、その範囲内のどんな点でもいいから、計算しやすいxの値を代入して、yや多項式の値の符号を調べたのです。
もう一つ、この授業では使わないと思いますが、方程式f(x)=0の解の大体の値を調べるときに使います。まず、f(a)とf(b)の符号違うようなa,b(a<b)を見つけます。例えば、f(a)<0<f(b)とすると、中間値の定理より、f(α)=0となる点αがaとbの間にあることになります。これで、解が[a,b]の中にあることが分かります。次に、この範囲を半分にして、左半分と右半分のどちらに解があるか調べるのです。すなわち、c=(a+b)/2として、f(c)の符号を調べるのです。f(a)とf(c)、f(c)とf(b)で符号が異なる区間の方に解があるのです。これをどんどん繰り返すと、区間の幅がどんどん狭くなりますので、区間の両端の値は数列となり、ともに解αに収束することになります。

この定理は、合成関数の連続性についてのものですが、簡単に言えば、連続関数どうしは合成しても連続である、と言っているものです。
例えば、f(x)=a^(x):aのx乗、g(x)=x+1はともに連続関数ですが、これらを合成したf◦g(x)=f(g(x))=a^(x+1):aの(x+1)乗 もまた連続関数になります。このように、当たり前と思うようなこと改めて書いているだけです。
　また、逆関数についても、元の関数が連続だったら、逆関数もまた連続である、と言っているだけです。グラフで考えても当たり前です。つながっているグラフをy=xで折り返しても、やはりつながっています。
　実は、この定理があるおかげて、連続関数については、関数の外にあるlimを関数の中に入れることができます。不連続関数では、このいう事は一般的にはできません。

テキスト27ページの枠「数列の収束」内にあるように、極限と極限値は同じものですが、実際に使うときにはちょっとした違いがあるかもしれません。私は以下のように使い分けているかもしれません(厳密ではありません)。
テキスト27ページの枠「数列の収束」内にあるように、何かの実数αに近づくような場合には、「極限値」と使うことが多いかもしれません。一方。＋∞や－∞に発散する際には、厳密には収束するとは言いませんが、後々の扱いが収束する場合と似たようなものになりますので、その場合には「極限」という事が多いと思います。という風に考えると、収束先が実数の場合には「極限値」とし、収束するかどうか分からない時には、「極限」と言っているような気がします。

M/0や0/0と書くと、実際にMや0を0で割るように見えてしまいますが、祖rは違います。授業でも扱ったように、これは分母分子の極限値を表しただけです。分母分子の極限値がこのような状況になった時には、全体として極限値はどうなるか？ というものです。実際には、0で割り算せずに、0になならない一般項の段階で割り算を考えていきます。