中間値の定理は、当たり前すぎて、その意味する所や利用価値が見えにくいかもしれません。
その内容については、例えば、自宅から大学に来るまでの経路において、自宅を出発してから大学に到着するまでの経過時間と経路での自宅からの移動距離との関係を関数にしたとします。xが経過時間でyが移動距離を表すとします。この関数は、式には表せないでしょうが、グラフに表すと、つながったグラフになり、連続関数です。この時、大学までの距離の半分の地点を通過した瞬間の時刻があるはずです。このように、大学までの距離の範囲内であれば、どの地点(y軸の値)でもそこを通過した時刻(x軸の値)が大学への到着時間内にあるはずです。これが中間値の定理が言っていることです。
この中間値の定理は、当たり前すぎて、どこに使っているかが分かりにくい所があります。この授業で使ったところでは、グラフの概形を書く際に、0や＋や－で書いていました。実は、＋や－を書く際に、中間値の定理を使っています。あの表では、0となる点(xの値)は分かっていますので、先に書いています。という事は、そこに書いた点以外では0になる点はないという事です。このことから、表内の0と0の間や両端(±∞方向)では、符号が変わらない事になります。もし変わるならば、中間値の定理より、その途中でyや多項式の値が0になる点が無ければなりません。0になる点はすべてか出しているので、そういう点はないのです。ですから、その範囲内のどんな点でもいいから、計算しやすいxの値を代入して、yや多項式の値の符号を調べたのです。
もう一つ、この授業では使わないと思いますが、方程式f(x)=0の解の大体の値を調べるときに使います。まず、f(a)とf(b)の符号違うようなa,b(a<b)を見つけます。例えば、f(a)<0<f(b)とすると、中間値の定理より、f(α)=0となる点αがaとbの間にあることになります。これで、解が[a,b]の中にあることが分かります。次に、この範囲を半分にして、左半分と右半分のどちらに解があるか調べるのです。すなわち、c=(a+b)/2として、f(c)の符号を調べるのです。f(a)とf(c)、f(c)とf(b)で符号が異なる区間の方に解があるのです。これをどんどん繰り返すと、区間の幅がどんどん狭くなりますので、区間の両端の値は数列となり、ともに解αに収束することになります。